Как решать умножение в столбик на двузначное. Умножение натуральных чисел столбиком: примеры, решения
С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!
Учить таблицу умножения - игра
Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.
Результат: 0 очк.
Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.
Умножение прямо на сайте (онлайн)
*| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 |
| 12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 |
| 13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 |
| 14 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 |
| 15 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | 300 |
| 16 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 |
| 17 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 |
| 18 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 |
| 19 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 |
| 20 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 |
Как умножать числа столбиком (видео по математике)
Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.
В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.
Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.
Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.
Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.
Как умножаются в столбик натуральные числа?
Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:
- До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
- Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
- То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.
Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.
Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей
Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.
Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.
Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:
С чего начать обучение делению?
До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.
После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?
После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.
Алгоритм деления чисел в столбик
Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:
- До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
- Записать делимое. Справа от него - делитель.
- Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
- Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
- Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
- Записать результат от умножения этого числа на делитель.
- Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
- Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
- Снова подобрать число для ответа.
- Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.
Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?
Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.
Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.
Рассмотреть такое деление можно на примере - 12082: 863.
- Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
- После вычитания получается остаток 345.
- К нему нужно снести цифру 2.
- В числе 3452 четыре раза умещается 863.
- Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
- Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.
Ответом в примере будет число 14.
Как быть, если делимое заканчивается на ноль?
Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.
Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.
Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?
Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.
Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.
Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.
Деление двух десятичных дробей
Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.
Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.
Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.
В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:
- Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
- Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
- Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
- Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
- Снести к остатку 0.
- Снова взять по 8.
- Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
- Теперь брать нужно 7.
- Результат умножения - 224, остаток - 16.
- Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.
Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.
Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?
Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.
Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.
Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.
При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).
Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.
Деление периодических дробей
В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.
Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.
Если в примере разные дроби...
Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.
Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.
Умножение натуральных чисел удобно проводить особым способом, который получил название «умножение столбиком » или «умножение в столбик ». Вся прелесть этого способа заключается в том, что умножение многозначных натуральных чисел сводится к последовательному умножению двух однозначных чисел.
В этой статье мы самым подробным образом разберем алгоритм умножения столбиком двух натуральных чисел. Последовательность действий будем описывать пошагово, одновременно показывая решения примеров.
Навигация по странице.
Что необходимо знать для умножения натуральных чисел столбиком?
Промежуточные вычисления при умножении столбиком проводятся с использованием таблицы умножения , поэтому ее желательно знать наизусть, чтобы не тратить время на поиск нужного результата.
Рано или поздно при умножении столбиком мы столкнемся с умножением однозначного натурального числа на нуль. В этом случае мы будем пользоваться свойством умножения натурального числа на нуль : a·0=0 , где a – произвольное натуральное число..
Рекомендуем разобраться с материалом статьи сложение столбиком . Это связано с тем, что на одном из этапов умножения в столбик приходится складывать промежуточные результаты (которые называют неполными произведениями), используя принцип сложения столбиком.
Наконец, желательно вспомнить понятие разряда натурального числа .
Запись множителей при умножении в столбик.
Начнем с правил записи множителей при умножении столбиком.
Второй множитель записывается под первым множителем так, что первые справа цифры, отличные от цифры 0 , располагаются друг под другом. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения вида «×». Приведем примеры правильной записи множителей при умножении столбиком. Ниже показаны записи в столбик произведений чисел 352 и 71 , 550 и 45 002 , а также 534 000 и 4 300 .
С записью разобрались.
Теперь можно переходить непосредственно к процессу умножения двух натуральных чисел столбиком. Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное число. После этого разберем умножение столбиком двух многозначных натуральных чисел.
Умножение столбиком многозначного натурального числа на однозначное число.
Сейчас мы приведем алгоритм умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число. Будем это делать, одновременно описывая решение примера.
Пусть нам требуется умножить данное многозначное натуральное число 45 027 на данное однозначное число 3 .
Записываем множители так, как это предполагает умножение столбиком (при этом однозначное число оказывается под крайним справа знаком многозначного числа).
Для нашего примера запись будет иметь следующий вид:
Теперь выполняем умножение значение разряда единиц данного многозначного числа на данное однозначное число. Если при этом получаем число меньшее 10 , то записываем его под горизонтальной чертой в том же столбце, в котором находится данное умножаемое однозначное число. Если же получаем число 10 или число большее, чем 10 , то под горизонтальной чертой записываем значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминаем (запомненное число прибавим к результату умножения на следующем шаге, после чего запомненное число удалим из памяти).
То есть, умножаем 7
(это значение разряда единиц первого множителя 45 027
) на 3
. Получаем 21
. Так как 21
больше 10
, то под чертой записываем число 1
(это значение разряда единиц полученного числа 21
) и запоминаем число 2
(это значение разряда десятков числа 21
). На этом шаге запись примет следующий вид:
Переходим к следующему этапу алгоритма умножения столбиком. Выполняем умножение значения разряда десятков данного многозначного числа на данное однозначное число и к произведению еще прибавляем число, запомненное на предыдущем этапе (если мы его запоминали). Если в результате получаем число меньшее десяти, то записываем его под горизонтальной чертой слева от уже записанного там числа. Если же в результате получаем число десять или число большее десяти, то под горизонтальной чертой записываем значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминаем (его так же используем на следующем шаге).
Итак, умножаем 2
(это значение разряда десятков первого множителя 45 027
) на 3
, имеем 6
. К этому числу прибавляем запомненное на предыдущем шаге число 2
, получаем 6+2=8
. Так как 8
меньше, чем 10
, то под горизонтальной чертой записываем число 8
на нужную позицию (при этом нам не нужно запоминать никакое число, то есть, теперь в памяти у нас чисел нет). Имеем:
На следующем шаге действуем аналогично, но уже выполняем умножение значения разряда сотен данного многозначного числа на данное однозначное натуральное число. Прибавляем к этому произведению запомненное число (если его запоминали); сравниваем результат с числом 10 ; если нужно, запоминаем новое число, и записываем нужное число под горизонтальной чертой слева от уже находящихся там чисел.
Умножаем 0
на 3
, получаем 0
. Так как в памяти у нас нет никакого числа, то к полученному числу 0
не нужно ничего прибавлять. Число 0
меньше 10
, поэтому записываем 0
под горизонтальной линией на нужной позиции:
После этого переходим к умножению значения следующего разряда данного многозначного натурального числа и данного однозначного натурального числа. Аналогичным образом действуем до того момента, пока не умножим значения всех разрядов данного многозначного числа на данное однозначное натуральное число.
Итак, умножаем 5
на 3
, получаем 15
. Так как 15>10
, то пишем под чертой 5
и запоминаем число 1
:
Наконец, умножаем 4
на 3
, получаем 12
. К 12
прибавляем запомненное на предыдущем этапе число 1
, имеем 12+1=13
. Так как 13
больше, чем 10
, то записываем число 3
на нужное место и запоминаем число 1
:
Отметим что, если на последнем этапе нам пришлось запомнить число, то его нужно записать под горизонтальной чертой слева от уже находящихся там чисел.
У нас в памяти находится число 1
, поэтому его нужно написать на нужное место под чертой:
На этом процесс умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число заканчивается, а результатом умножения является число, записанное под горизонтальной линией.
Таким образом, умножение столбиком натуральных чисел 45 027 и 3 привело нас к результату 135 081 .
Для наглядности схематично изобразим алгоритм умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число (этот рисунок отражает лишь общую картину, но не показывает всех нюансов).
Осталось разобраться с умножением столбиком многозначного натурального числа, в записи которого справа находится цифра 0 или несколько цифр 0 подряд, на однозначное число. Также рассмотрим все шаги умножения столбиком в таких случаях на примере. Причем возьмем числа из предыдущего примера, но в записи многозначного числа допишем несколько цифр 0 справа.
Итак, умножим натуральные числа 4 502 700 (мы дописали две цифры 0 ) на число 3 .
В этом случае сначала записываем умножаемые числа так, как это предполагает умножение столбиком:
После этого проводим умножение столбиком так, как будто цифр 0 справа нет.
Воспользуемся результатом из уже решенного выше примера:
На заключительном этапе умножения столбиком под горизонтальной чертой, справа от уже имеющихся там цифр, записываем столько цифр 0 , сколько их находится справа в исходном умножаемом числе.
В нашем примере нужно дописать две цифры 0
. Запись примет вид:
На этом умножение столбиком завершено.
Результатом умножения многозначного натурального числа 4 502 700 , запись которого оканчивается нулями, на однозначное натуральное число 3 является 13 508 100 .
Умножение в столбик двух многозначных натуральных чисел.
Опишем все этапы алгоритма умножения двух многозначных натуральных чисел столбиком.
Описание будем проводить вместе с решением примера. Сейчас будем считать, что в записях умножаемых натуральных чисел справа не находятся цифры 0 . Умножение многозначных натуральных чисел, записи которых оканчиваются нулями, рассмотрим в конце этого пункта.
Умножим столбиком числа 207 на 8 063 .
Начинаем с записи множителей друг под другом. Заметим, что удобнее сверху располагать множитель, запись которого состоит из большего количества знаков (в нашем примере сверху запишем число 8 603
, так как в его записи 4
знака, а число 207
трехзначное). Если же записи множителей содержат одинаковое количество знаков, то не имеет значения, какой из множителей записывать сверху. Итак, располагаем множители друг под другом, чтобы цифры первого множителя были под цифрами второго множителя справа налево:
Теперь на каждом следующем шаге будем получать так называемые неполные произведения .
Первый этап алгоритма заключается в умножении столбиком первого множителя (в нашем примере это число 8 063
) на значение разряда единиц второго множителя (в нашем примере значением разряда единиц числа 207
является число 7
). Все действия аналогичны умножению столбиком многозначного числа на однозначное число (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту этой статьи), в результате под горизонтальной линией имеем первое неполное произведение. На этом этапе запись примет следующий вид:
Переходим ко второму этапу. На этом этапе умножаем столбиком первый множитель (в нашем примере это число 8 063 ) на значение разряда десятков второго множителя, если оно не равно нулю. Если значение разряда десятков второго множителя равно нулю, то переходим к следующему этапу (в нашем примере значением разряда десятков числа 207 равно нулю, поэтому, мы перейдем к третьему этапу). Результаты записываем под чертой ниже уже записанного там числа, начиная с позиции, которая соответствует разряду десятков.
На третьем, четвертом и так далее этапах действуем аналогично, умножая столбиком первый множитель (число 8 063 ) на значение разряда сотен второго множителя (если оно не равно нулю), далее на значение разряда тысяч (если оно не равно нулю) и так далее. Результаты записываем под чертой ниже уже записанных там чисел, начиная с позиции, отвечающей разряду однозначного числа, на которое проводится умножение на данном этапе.
Итак, умножаем число 8 063
на значение разряда сотен числа 207
, то есть на число 2
. Получаем второе неполное произведение, а решение примера примет следующий вид:
Итак, все неполные произведения вычислены. Остается последний этап алгоритма, на котором складываются все неполные произведения, причем делается это так же, как при сложении в столбик. Сложение производится с использованием уже имеющейся записи (неполные произведения остаются на тех местах, где они и записаны, то есть, они никуда не сдвигаются), снизу проводится еще одна горизонтальная линия, слева ставится знак «+», а результаты сложения записываются под нижней линией. Если в столбце находится только одно число, и при этом в памяти нет запомненного на предыдущем этапе числа, то оно записывается под горизонтальной линией.
В нашем примере получаем:
Образовавшееся внизу число является результатом умножения исходных многозначных натуральных чисел. Итак, произведение чисел 8 063 и 207 равно 1 669 041 .
Для наглядности схематично изобразим процесс умножения столбиком двух натуральных чисел.
Покажем решение еще одного примера для закрепления материала.
Ребята, давайте повторим, что такое однозначное, двузначное и трехзначное число.
Однозначное число
- это число, для записи которого нужен один знак.
Например: 1, 3, 5, 4, ...
Наверное, вы уже догадались, что однозначным числом являются цифры, когда они записаны, как число. Они состоят из единиц.
Двузначное число - это число, для записи которого, нужно два знака. Например, все числа от 10 до 99 являются двузначными числами. Они состоят из десятков и единиц.
Когда дети начинают разбивать номера?
Разделение проводится в ключевой стадии 1, чтобы дети знали, что двузначное число состоит из десятков и единиц. Идея состоит в том, что ребенок соединяет стрелки вместе, чтобы цифры соответствовали. Это два часто используемых метода для добавления больших чисел.
Учитель может начать обучать детей добавлять двузначные и трехзначные числа в году 3 путем разбиения на разделы. Причиной этого является то, что он помогает детям мысленно добавлять кратные десять и кратные 100. Дети в 3-м году должны добавить также научиться добавлять трехзначные числа с помощью, поэтому ваш ребенок, вероятно, столкнется с обоими из этих методов.
Трехзначное число
- это число, для записи которых, нужны три знака. Вы уже догадались, что все числа от 100 до 999 являются трехзначными. Они содержат единицы, десятки и сотни.
Ребята, ответьте на вопрос: сколько существует трехзначных чисел?
Прежде всего запомните правило умножение на ноль и единицу.
Это правило гласит:
Число * 0 = 0
Число * 1 = Число
Разделение в умножении
Детям 3-го года также необходимо умножить двузначные числа на одноразрядное число. Их обычно обучают этому разбиению, например. Как только учителя очень уверены, что ребенок знает, как умножить кратные десять и сто, они часто позволят ребенку перейти на более быстрый метод столбцов.
В 6-й год дети должны начать вычислять. Чтобы это стало проще, учитель может показать им, как разделять десятичные числа. Это читается так, как четыре раза шесть равно двадцать четыре или просто четыре раза шесть - двадцать четыре. Знание умножения очень важно. Итак, если вы слабы в умножении, вы должны попытаться достичь уровня владения следующим «таблицей времени».
Примеры.
5 * 0 = 0;
18 * 0 = 0;
4506 * 0 = 0
1 * 34 = 34;
2384 * 1 = 2384;
1 * 47586 = 47586
Для умножения многозначных чисел часто применяют метод умножения столбиком, который мы будем применять в наших примерах.
Умножим многозначное число на число, отличное от 0 или 1.
Рассмотрим примеры.
Возьмем числа 348 и 4. Для нашего удобства запишем их в столбик.
Начнем умножение с крайнего правого столбца и перемножим числа 4 и 8. Получим число 32. Число 2 записываем строго под числами 8 и 4.
А число 30 переводим в соседний разряд (разряд десяток). При переносе числа в более старший разряд, например, из единиц в десятки, это число теряет 0.
Теперь умножаем 4 и 4 и получим 16. Прибавим 3 от предыдущего умножения. В итоге, у нас получим 19. Число 9 пишем под числом 4 (левее цифры 2), а 1 переводим в соседний разряд (разряд сотен).
Затем перемножаем числа 3 и 4 и к результату приплюсуем 1 от предыдущего действия. В итоге, получаем 13. Записываем его полностью, т.к. это наше последнее действие.
В итоге, мы получаем произведение чисел 348 на 4, которое равно 1392.
Умножение больших чисел
Ваша уверенность и умение учиться математике будет во многом зависеть от ваших знаний о размножении. Итак, вы должны стремиться справиться с вышеуказанным «таблицей времени».
- Продукт является результатом умножения двух чисел.
- Чтобы вычислить 8 Ч 9, напомним «таблицу восьми раз».
Чтобы умножить большое число на одноразрядное число, введите цифры по вертикали, а большее число будет умножено на меньшее число. Чтобы вычислить 89 Ч 7, установите его вертикально с меньшим числом, помещенным под большим числом, как показано ниже. Теперь, вычислите 7 Ч 8 и добавьте 6, чтобы получить Это написано, как показано ниже.
Примеры умножения многозначного числа на двузначное число
В этом примере рассмотрим умножение трехзначного числа на двузначное. Возьмем числа 925 и 38.Весь процесс умножение делится на несколько частей.
Первая часть - умножение числа 925 на число 8. Для удобства запишем их в столбик.
Как обычно, при умножении в столбик мы начнем свои действия с крайнего правого столбца. Там записаны числа 5 и 8, перемножив, которые получим число 40. Записываем число 0 под числамии 5 и 8.
Не забываем 40 перенести в следующий разряд (разряд десяток).
Теперь перемножаем числа 2 и 8. Получаем 16. Не забываем прибавить число 4, которое осталось после выполнения предыдущего действия (при перемножении 8 и 5). Получим число 20. Число 0 записываем под числом 3 рядом с предыдущим числом 0, а 20 переносим в следующий разряд (разряд сотен).
И последнее действие первой части - это перемножение чисел 9 и 8. Произведение этих чисел равно 72. Добавим к произведению число 2 и получим число 74. Запишем его полностью.
Вторая часть - умножение числа 925 на число 3. Не будем рассматривать эту часть так же подробно, как и предыдущую, а просто запишем результат произведения этих чисел.
При записи произведения чисел второй части нужно помнить, что запись надо начинать не с крайнего правого столбца, а со смещением на единицу. В нашем примере первое число надо записать строго под числами 2, 3,0. Смотрите рисунок.
Третья часть - получение суммы чисел. Это заключительный этап, на котором нам нужно получить сумму от первого произведения - 7400 и от второго произведения - 2775. Суммируем, соблюдая правила, которые используются при сложении в столбик.
На последнем рисунке представлен результат умножения двузначного числа 38 на трехзначное число 925.
Самое главное правило, с которого мы начинаем изучать умножение в столбик:
Мы часто излагаем решение следующим образом. Умножение 38 на 60 быстрее, чем умножение на 60 на 38, поскольку 60 содержит нуль. Умножение на 385 на 500 быстрее, чем умножение на 500 на 385, поскольку 500 содержит два нуля. Чтобы умножить два больших числа , напишите числа по вертикали, а большее число будет умножено на меньшее число, которое называется множителем. Мы используем таблицу раз, чтобы найти произведение большего числа с каждой цифрой в множителе, добавляя результаты. Например, если умножающая цифра находится в столбце сотен, добавьте два нуля для столбца десятков и столбца единиц.
- Итак, разместите 3 в столбце единиц и несите 6.
- Затем вычислите 7 Ч 8 и добавьте 6, чтобы получить 62.
- В столбце единиц помещается нуль.
- Затем мы вычисляем 6 Ч 38, как показано выше.
- В столбце единиц помещается нуль, а также столбец десятков.
- Затем мы вычисляем 5 Ч 385, как показано выше.
- Не забывайте добавлять нуль для каждого значения места после умножающей цифры.
- Чтобы умножить 269 на 78, место 78 ниже.
- Затем вычислим 8 Ч 269 и 70 Ч 269, как показано выше.
Умножение в столбик на двузначное число
Пример: 46 умножить на 73
Под числом 46 записываем число 73 по правилу:
Единицы записываем под единицами, а десятки под десятками
1 Умножать начинаем с единиц.
3 умножим на 6. Получится 18.
- 18 единиц – это 1 десяток и 8 единиц.
- 8 единиц пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем и прибавим к десяткам.
Теперь 3 умножим на 4 десятка. Получится 12.
Ярлык №1: Квадратирование номеров в 50-х годах
Любой может хорошо разбираться в математике с ярлыками Майка Бистера. Теперь, если число с шага 2 меньше 10, вы должны поставить перед ним ноль.
Ярлык 2: Умножение двух чисел в 90-х годах вместе
Когда вы умножаете два числа в 90-х вместе, в круглых скобках рядом с каждым номером указывается, как далеко это число находится далеко от.Умножим трехзначное число на двухзначное
Это один из моих любимых трюков, потому что он прост и поражает любого, кто его видит. Попросите кого-нибудь выбрать два числа ниже 10 и написать один поверх другого. Попросите человека добавить их и поставить ответ прямо под двумя номерами. Попросите человека продолжить добавление нижних двух чисел в столбец и продолжайте суммирование итоговой суммы до тех пор, пока у вас не будет всего десять чисел. Затем добавьте ему весь столбец. Пример: кто-то выбирает числа 4 и 7 и записывает 4 сверху. Следующее число в серии будет потому, что 4 7 = Затем, добавив нижние два числа в столбец, следующее число будет 18, потому что 7 11 = Он должен продолжать делать это, пока у него не будет всего десять чисел, а затем он добавит всю колонку.
12 десятков, да ещё 1, всего 13 десятков.
Сотен в этом примере нет, поэтому сразу на месте сотен пишем 1.
138 - это первое неполное произведение.
2 Умножаем десятки.
7 десятков умножить на 6 единиц получится 42 десятка.
- 42 десятка это 4 сотни и 2 десятка.
- 2 десятка пишем под десятками. 4 запомним и прибавим к сотням.
7 десятков умножить на 4 десятка получится 28 сотен. 28 сотен, да ещё 4 получится 32 сотни.
Столбец может выглядеть примерно так. Вы быстро взглянете на цифры и скажете ему, что все десять цифр добавляют. Все, что вам нужно сделать, это посмотреть на 76 и добавить десятки цифра к нему, 76 7 = Затем наложите на одну цифру 76 на конец. Если человек выбрал два больших числа, таких как 8 и 9, седьмое число может быть трехзначным числом. Столбец будет выглядеть так.
Какие ошибки при умножении можно сделать и как их избежать
Седьмой номер в этом случае. Здесь мы рассмотрим, как умножать двузначные числа. Сначала использовал метод, названный Прямым методом Яковом Трахтенбергом, а второй - методом «двух пальцев». Оба эти метода будут работать для любых комбинаций двухзначных чисел.
- 32 сотни – это 3 тысячи и 2 сотни.
- 2 сотни пишем под сотнями, а 3 тысячи запомним и прибавим к тысячам.
Тысяч в этом примере нет, поэтому сразу на месте тысяч пишу 3.
3220 – это второе неполное произведение.
3 Складываем первое и второе неполные произведения по правилу сложения в столбик.
138 плюс 3220 получится 3358.
Если вы заинтересованы в том, чтобы умножить цифры до двенадцати, взгляните на них. Прямой метод редко преподается в школах, но известен на протяжении веков. В школе вас обычно учат записывать результат умножения каждой цифры множителя на отдельную строку , а затем суммирование общей суммы.
Умножение многозначного числа на многозначное
Вместо этого вы пишете только ответ. Для этого вы делаете пару вычислений на каждом шаге. Пары, которые приравниваются ни к чему, игнорируются. Эти пары называются внешними и внутренними парами. Внешняя пара всегда соединяет единичную цифру множителя с цифрой, в которой мы сейчас смотрим. Внутренняя пара всегда соединяет десятки цифр с цифрой справа от цифры, над которой мы работаем в мультипликаторе.
Читаем ответ: 46 умножить на 73 получится 3358
(Кликните по картинке)
Компоненты действия умножения
(Кликните по картинке)
Образец рассуждения
во время записи
умножения в столбик
Деление периодических дробей
Этот метод по существу тот же, что и в Ведической математике, когда они используют «вертикальную и поперечную» сутру при умножении двухзначных чисел. Стиль уравнения - единственная реальная разница. В Ведической математике уравнение записывается на двух строках, как показано ниже. Для прямого метода уравнение находится на одной линии с ответом под мультипликацией.
Вы можете посмотреть видео о прямом умножении с использованием двухзначных множителей или продолжить чтение следующих примеров. Количество начальных нулей всегда совпадает с числом цифр в множителе, поэтому при умножении на 2-значные числа мы всегда добавляем 2 старших нуля. Следующее: мы умножаем две единичные цифры вместе.
Внимательно просмотрите и примените в своих действиях!
Какие ошибки при умножении
можно сделать и
как их избежать
Внимательно просмотрите,
чтобы не совершать ошибок!
Правила для других случаев умножения
Умножение в столбик на однозначное число
Этот шаг включает в себя умножение десятков цифр одного числа на цифру единиц другой. При написании уравнения на одной строке, если мы рисуем изогнутые соединительные линии между умноженными цифрами, мы получаем внешнюю пару и внутреннюю пару. При написании уравнения на двух строках мы получаем крест, когда рисуем прямые соединительные линии между умноженными цифрами.
Умножение в столбик двух многозначных натуральных чисел
Добавляя результаты этих двух уравнений, получим 14, поэтому мы пишем 4 и переносим. На этом шаге мы умножаем десятки цифр каждого числа. При написании уравнения на одной строке внешняя пара на этом шаге соединяется с нулем, поэтому результат этой пары равен нулю и может быть проигнорирован. В этом примере умственные вычисления, которые нам нужно сделать, относительно просты, и поскольку мы делаем меньше шагов, чем традиционный метод умножения, это происходит быстрее. Однако есть недостаток такого подхода, особенно когда участвующие цифры больше.
Этот пример можно записать в столбик.
Под числом 34 записываем число 2 по правилу:
Под числом 68 записываем число 2 по правилу:
Мы умножаем две единичные цифры вместе. Итак, мы пишем 2 и нести. Это то, где это становится жестким, особенно если вы пытаетесь мысленно выполнить расчет. Итак, мы пишем 4 и нести. У нас есть 63, к которым мы добавляем перенос 14, чтобы дать нам. Запишем 7 и нести.
Как умножать в столбик: основные правила
Следуя оригинальному методу и причине ведущих нулей, у нас есть дополнительный шаг из-за переноса. Итак, мы имеем нуль плюс перенос 7, который мы записываем 7, который дает нам наш ответ. Этот шаг может показаться излишним, и мы могли бы просто записать перенос на последнем шаге, но по мере изучения метода лучше следовать всему уравнению до тех пор, пока вы не будете достаточно знакомы с методом, чтобы взять небольшие ярлыки.
Единицы записываем под единицами, а десятки, если они будут под десятками
1 Умножать начинаем с единиц.
2 умножим на 8. Получится 16.
- 16 единиц – это 1 десяток и 6 единиц.
- 6 единиц пишем под единицами. А 1 десяток запомним и прибавим к десяткам.
Теперь 2 умножим на 6 десятков. Получится 12.
12 десятков да ещё 1 всего 13 десятков.
Как вы можете видеть, когда цифры содержат цифры 7, 8 и 9, математика становится более сложной, особенно если вы пытаетесь сделать это мысленно. Яков также понял это, и он поставил себе задачу найти более простой способ добиться этого. Введите метод «двух пальцев», как он это называл, что упрощает вычисления, которые вам нужно выполнить. Прежде чем перейти к методу с двумя пальцами, нам нужно получить дополнительную справочную информацию для одноразрядного умножения.
Примеры умножения многозначного числа на однозначное число
При умножении двух цифр на одну цифру результат может быть только одним или двумя цифрами. Если мы ставим нуль перед результатом любой цифры, мы можем обрабатывать все результаты умножения двух чисел с одной цифрой в виде двухзначных результатов, цифры единиц и десятки цифр.
- 13 десятков – это 1 сотня да ещё 3 десятка.
- 3 десятка пишу под десятками. А 1 сотню запомним и прибавим к сотням.
Сотен в этом примере нет, поэтому сразу на месте сотен напишем 1.
Читаем ответ : 68 умножить на 2 получится 136.
Ребенка просто научить умножать столбиком, если делать это в игровой форме.
- Математика — это сложная наука почти для каждого ребенка. Родителям приходится заставлять своего чада выполнять домашние задания, ведь это необходимо не только для получения хороших оценок в школе, но и для развития
- Напряженная работа мозга помогает развить память, интеллект, внимание и приобрести отличные навыки счета
- Все качества, приобретенные в школе, будут полезными в будущей жизни. Считать нужно уметь не только ученым, но и рабочим, и домохозяйкам. Одно из самых сложных действий — это умножение. Оно дается сразу не каждому ребенку
Важно: Ученику начальной школы порой нужно несколько уроков, чтобы понять это действие. Но, ведь учителя требуют в течение нескольких дней после подачи материала, выучить таблицу умножения.
Научить ребенка умножению — это реальная задача, но придется запастись терпением. Занятие должны быть регулярными, ведь только система поможет добиться желаемых результатов.
Важно: Если ребенок еще маленький (5, 6, 7 лет), необходимо приготовить наглядные пособия в виде монет, картинок или карточек для счета. Сделайте занятия в игровой форме. Длиться они должны не более 20 минут.
- Расскажите ребенку, что умножение — это повторение, сложение одинаковых чисел
- Напишите на листе бумаги примеры: 2+2+2+2+2 и 2х5
- Сделайте вместе с ребенком сравнение, как быстрее подсчитать сложением или умножением
- Чтобы закрепить эту полученную информацию, приведите примеры из жизни, но они должны быть не выдуманными. Например, к ребенку в гости идут 7 друзей. Для них готово лакомство — по 2 конфеты. Как быстрее подсчитать — сложением или умножением? Подсчитайте вместе с малышом и запишите на бумаге в виде примера: 7х2=14
Совет: Сразу объясните малышу, что 3х5=5х3. Благодаря этому вы уменьшите количество информации, которую ему придется заучивать.
Когда пройдет несколько занятий, таблица умножения будет выучена, тогда можно начинать объяснять ребенку умножение столбиком двухзначных и трехзначных чисел.
Дети уже в третьем классе начинают проходить умножение в столбик на двухзначные и трехзначные числа. Но сначала необходимо объяснить умножение на однозначное число, например, 76х3:
- Сначала умножаем 3 на 6, получается 18 — 1 десяток и восемь единиц, 8 единиц пишем, а 1 запоминаем. Единицу мы потом будем прибавлять к десяткам
- Теперь умножаем 3 на 7, получается 21 десяток + единица, которую запоминали, получилось 22 десятка
- Используем правило умножения в столбик: последнюю цифру оставляем, а ниже записываем десятки, получилось 228
Правило умножения в столбик: Сразу расскажите ребенку, что при умножении в столбик нужно записывать цифры аккуратно, ведь от этого зависит результат. Разряды единиц пишутся под единицами, а десятки — под десятками.
Двух-, трех-, четырехзначные числа можно умножить на однозначные в уме. Когда ребенок станет немного старше, он так и будет делать. Но умножать на двухзначное число в уме ему еще сложно. Поэтому применяется снова действие в столбик.
Пример : Делаем умножение на двузначное число — 45х75:
- Под числом 45 записываем 75 по правилу: единицы под единицами, десятки под десятками
- Умножение начинаем делать с единиц: 25 — 5 пишем, 2 запоминаем, чтобы потом прибавить к десяткам
- Умножаем 5 на 4, получается 20. Прибавляем к десяткам 2, получается 22. Записываем впереди цифры 5, получается 225
- 7х5=35. Цифру 5 записываем под десятками, 3 запоминаем и будем ее записывать потом в сотни
- 7х4=28 сотен. Прибавляем 3, получается 31 сотня. Записываем по правилу умножения в столбик
- Складываем неполные произведения — единицы, десятки и сотни и получаем результат: 45х75=3375
Есть такие люди, которые производят умножение трехзначных чисел в уме. Ребенку, естественно, сложно это делать, поэтому он должен оттачивать навыки на бумаге.
Умножение на трехзначное число производится по такому же принципу, как и умножение на двухзначное число:
- Сначала умножаются единицы и записываются в строку
- Ниже будут записаны десятки по правилу умножения в столбик
- Третьей строкой записывается произведение сотен
- В итоге получатся тысячи, сотни, десятки и единицы, которые нужно сложить
Важно: Если нужно умножить двузначное число на трех- или четырехзначное число, то запись в столбик выполняется таким образом, чтобы наибольшее число было вверху, а наименьшее снизу. Благодаря этому действию придется сделать меньше записей, а умножать будет легче.
Как умножать столбиком двузначные числа мы рассмотрели выше, а как умножить большое число на двузначное следует разобрать подробнее:
Пример : 4325х23
- Сначала умножаем 3 на 5, на 2, на 3 и на 4. Записываем единицы, десятки, сотни и тысячи
- Теперь умножаем 2 на 5, на 2, на 3 и на 4. Также записываем, но уже десятки под десятками, сотни под сотнями, а тысячи под тысячами
- Складываем по правилу и получаем результат: 4325х23=99475
Важно : Чтобы ребенок научился хорошо умножать сложные числа, необходимо с ним много заниматься. Эти занятия должны быть непродолжительными, но систематичными.
Алгоритм умножения чисел заключается в применении таблицы умножения. Поэтому ребенок сначала должен досконально выучить таблицу умножения, а потом учиться выполнять действие со сложными числами.
Важно : Таблицу умножения надо знать хорошо для того, чтобы не тратить время на поиск нужного результата при выполнении умножения сложных чисел.
Важно : Чтобы быстро выучить таблицу умножения, можно тренироваться, умножая столбиком. Так получится закрепить знания, и потренировать память.
Ребенку будет легче запомнить таблицу умножения в стихотворной форме, а занимательный персонаж поможет ему в этом.
Загрузка...
