Повна поверхня піраміди. Площа чотирикутної піраміди Площа поверхні трикутної піраміди
Інструкція
Перш за все, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою різних формул, в залежності від відомих даних:
S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;
S = a*b*sinβ, де a, b - сторони трикутника, а - кут між цими сторонами;
S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;
S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;
S = (a * b) / 2 = r + 2 * r * R (якщо трикутник - прямокутний);
S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).
Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.
Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:
Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-го трикутника, що є частиною її бічної поверхні.
Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.
Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:
S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²
Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:
125.137 см² * 4 = 500.548 см²
Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²
Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб=1/2P*h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).
Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S = 1/2b * h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.
Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить у підставі піраміду: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .
Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Знайти площу бічної поверхні піраміди дуже просто. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав із апофему. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди. Припустимо, дана правильна чотирикутна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.
Піраміда – це багатогранник, одна з граней якого (основа) – довільний багатокутник, інші грані (бічні) – трикутники, мають загальну вершину. За кількістю кутів основи піраміди бувають трикутні (тетраедр), чотирикутні і таке інше.
Піраміда є багатогранником, що має основу у вигляді багатокутника, а інші грані є трикутниками із загальною вершиною. Апофемою називається висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини.
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра основи.
Що стосується площі повної поверхні, то просто до бічної додаємо площу основи.
Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему.
Доведення:
Якщо сторона основи а число сторін n, то бічна поверхня піраміди дорівнює:
a l n/2 =a n l/2=pl/2
де l – апофема, а p – периметр основи піраміди. Теорему доведено.
Ця формула читається так:
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.
Площа повної поверхні піраміди обчислюється за такою формулою:
S повний = S бік + S осн
Якщо піраміда неправильна, то її бічна поверхня дорівнюватиме сумі площ її бічних граней.
Об'єм піраміди
Об `ємпіраміди дорівнює одній третині твору площі основи на висоту.
Доведення. Виходитимемо з трикутної призми. Проведемо площину через вершину A" верхньої основи призми і протилежне ребро ВС нижньої основи. Ця площина відсіче від призми трикутну піраміду A"АВС. Решту призми розкладемо на жва тіла, провівши площину через діагоналі A"С і B"C бічних граней. Отримані два тіла також є пірамідами. Вважаючи трикутник A"B"C" основою однієї з них, а З її вершиною, побачимо, що її основа і висота такі самі, як і у першої відсіченої нами піраміди, тому піраміди A"АВС і CA"B"C" рівновеликі. Крім того, обидві нові піраміди CA"B"C" та A"B"ВС також рівновеликі - це стане ясним, якщо приймемо за їх підстави трикутники ВСB" і B"CC". Піраміди CA"B"C" і A"B "ВС мають загальну вершину A", а їх підстави розташовані в одній площині і рівні, отже, піраміди рівновеликі.Таким чином, призма розкладена на три рівновеликі між собою піраміди; то, взагалі, обсяг n-вугільної піраміди дорівнює одній третині обсягу призми з тією ж висотою і тією самою (або рівновеликою) основою.
Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видів та форм, а значить і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.
Види фігури
Піраміда – геометрична фігура, Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:
- правильна;
- усічена.
У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут усі бічні поверхні рівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.
У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.
Терміни та позначення
Основні терміни:
- Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
- Вершина- Найвища точка, де сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
- Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
- Переріз- Плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення. Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
- Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де знаходиться друга точка висоти. Дане визначення справедливе лише стосовно правильного багатогранника. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. В даному випадку висота цього трикутника і стане апофемою.
Формули площі
Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то в даному випадку легше обчислити загальну площу поверхні через сукупність усіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.
Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули у різних випадкахтеж матимуть відмінності.
У разі правильної фігурою знаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.
Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної піраміди матиме такий вигляд:
S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)
Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.
Площа бічної поверхні правильної трикутної пірамідиобчислити найлегше. Формула має такий вигляд:
S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см у квадраті.
Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ і 6 см, апофема дорівнює 4 см.
Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.
Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - досить обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.
Відео
Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.
У цьому уроці:
- Завдання 1. Знайти площу повної поверхні піраміди
- Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди
.
Примітка . Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз. Для простих підкорених виразів можна використовувати знак "√".
Завдання 1. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди
Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см. а кут між бічною гранню та основою піраміди дорівнює 45 градусів.Знайти площу повної поверхні піраміди
Рішення.
В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник.
Тому для вирішення задачі скористаємось властивостями правильного трикутника: 
Нам відома висота трикутника, звідки можна знайти його площу.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Звідки площа основи дорівнюватиме:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6/√3) 2
S = 3√3
Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою завдання дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK = cos 45
Скористаємося таблицею значень тригонометричних функцій та підставимо відомі значення.
OK / MK = √2/2
Врахуємо, що ОК дорівнює радіусу вписаного кола. Тоді
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Тоді
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2
Площа бічної грані тоді дорівнює половині добутку висоти основу трикутника.
Sбок = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6
Таким чином, площа повної поверхні піраміди дорівнюватиме
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Відповідь: 3√3 + 18/√6
Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди
У правильній трикутній піраміді висота дорівнює 10 см, а сторона основи 16 см . Знайти площу бічної поверхні .Рішення.
Оскільки основою правильної трикутної піраміди є рівносторонній трикутник, AO є радіусом описаної навколо основи кола.
(Це випливає з )
Радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника знайдемо з його властивостей
Звідки довжина ребер правильної трикутної піраміди дорівнюватиме:
AM 2 = MO 2 + AO 2
висота піраміди відома за умовою (10 см), AO = 16√3/3
AM2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Кожна зі сторін піраміди є рівнобедреним трикутником. Площа рівнобедреного трикутника знайдемо з першої формули, поданої нижче 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Оскільки всі три грані у правильної піраміди рівні, то площа бічної поверхні дорівнюватиме
3S = 48 √(91/3)
Відповідь: 48 √(91/3)
Завдання 3. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди
Сторона правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см, а кут між бічною гранню і основою піраміди дорівнює 45 градусів. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
Рішення.
Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить рівносторонній трикутник. Тому площа основи дорівнює 
So = 9 * √3/4
Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою завдання дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK = cos 45
Скористаємося
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Завантаження...
