Парадокс «муравей на резиновом тросе. Обзор ярких представителей тропических муравьев амазонии

February 22nd, 2014 , 07:00 am

Нашёл в сети вот такой пост. Ничего не понял. Может кто-нибудь даст вразумительный ответ по поводу написанного здесь...

Парадокс муравья на канате показывает, что любое расстояние можно преодолеть. Но необязательно быстро. Представим, что муравей находится на самом конце резинового каната длиной в один метр, другой конец каната привязан к автомобилю. Муравей начинает двигаться - и автомобиль тоже начинает двигаться в тот же самый момент. Муравей движется со скоростью один сантиметр в секунду, а автомобиль - со скоростью один километр в секунду. Кажется невозможным, что несчастный муравей однажды доберётся до противоположного конца каната, потому что канат растягивается быстрее, чем движется муравей.

Ну да, нормальный муравей и правда дойти не смог бы. Но у нас муравей будет бессмертным, запас топлива - бесконечным, канат - тоже бесконечным, ну, а Вселенная, само собой, бесконечна и без всяких допущений. При таких условиях муравей рано или поздно дойдёт до конца.

Решение кажется невозможным, так как мы представляем, что муравей и верёвка движутся независимо друг от друга. Но примите во внимание, что та часть каната, которая находится позади муравья (он всё ещё движется, не забывайте), растягивается точно так же, как и та часть каната, которая пока что впереди него. Математика здесь сложная, но представьте себе муравья и канат, как нечто нераздельное.

На нулевой секунде муравей находится на первом конце каната, а перед ним - ещё 100% пути. На первой секунде расстояние, которое предстоит преодолеть муравью, увеличивается, это правда, но перед ним осталось уже не 100% пути, а меньше. И чем больший путь в процентах пройдёт муравей, тем меньше ему останется - опять-таки в процентах. Рано или поздно процент оставшегося пути будет равен нулю.

Подчитано, что муравей оберёт счастье, дойдя до конца, после 2,8×1043,429 секунд. Так стремись же к свету, маленький муравей!

Задача по физике - 149

2014-05-31
В углах квадрата $ABCD$ со стороной $l$ находятся черепахи a,b,c,d. В некоторый момент времени они начинают двигаться с постоянными по величине скоростью $v$ и так, что в любой момент скорость черепахи а направлена к той точке плоскости, где в этот момент находится черепаха b, скорость черепахи b направлена к той точке плоскости где в этот момент находится черепаха с, и т. д. Сколько времени пройдет от начала движения до встречи черепах? Размерами черепах пренебречь.

Решение:

В силу симметрии задачи траектории всех черепах будут иметь одинаковую форму и при повороте около центра исходного квадрата на углы, кратные $90^{\circ}$, будет всеми своими точками накладываться друг на друга. Поскольку черепахи двигаются вдоль своих траекторий с одинаковой скоростью, то в любой момент времени t, отсчитываемый от момента начала движения, они будут находиться в вершинах некоторого квадрата $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ со стороной $l^{\prime}
Обозначим через $r(t)$ расстояние $OA^{\prime}$ черепахи от центра квадрата в произвольный момент времени t. Вектор ее скорости $\bar{v(t)}$ и этот момент направлен вдоль стороны $A^{\prime}B^{\prime}$ квадрата $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. По условию задачи длина вектора $\bar{v(t)}$ есть величина постоянная, не зависящая от t и равная v.
$|\bar{v(t)}| = v = const$.
Проекция вектора $\bar{v(t)}$ на линию, направленную к центру квадрата, равна
$v_{r}(t) = |\bar{v(t)}|\cos \frac{\pi}{4}= \frac{v}{\sqrt{2}}$.
Таким образом, эта проекция является величиной постоянной. Расстояние $r(t)$ черепахи от центра с течением времени меняется по закону
$r(t) = r_{0} – v_{r}t = \frac{l}{\sqrt{2}} – \frac{vt}{\sqrt{2}}$. (1)
Здесь $r_{0} = OA = l/\sqrt{2}$ - начальное расстояние черепахи а от центра. В момент времени $t=T$, когда черепахи встречаются, $r = 0$. Полагая в (1) $t = T$ и $r(T) = 0$, получаем уравнение
$\frac{l-vT}{\sqrt{2}}=0$,
Решая которое, находим $T = l/v$.

Как то мы уже с вами обсуждали уже такой парадокс, который называют либо "Ахиллес и черепаха", либо жучок и резинка, но прочитав комментарии к тому посту я понял, что мало кто осознал это и вообще поверил этому.

Что у нас по условию?

На старте муравей находится на одном конце резинового жгута. Второй привязан к автомобилю. И муравей, и автомобиль начинают двигаться одновременно. Машина едет со скоростью километр в секунду. Муравей ползёт со скоростью один сантиметр в секунду. Доберётся ли муравей до машины? Это кажется совершенно невозможным - резина растягивается быстрее, чем движется муравей.

Значит муравей не доберется до машины? Или доберется?

Блогер biglebowsky напомнил тогда такую историю.

Воспоминания академика Л.Б. Окуня. «Три эпизода», журнал "Природа", 1990, №8, стр.119.

"Великому физику акад. А.Д. Сахарову принадлежит неофициальный рекорд скорости решения этой задачи.
21 июля 1976 г. Ресторан «Арагви» в Тбилиси, где происходит торжественный ужин участников международной конференции по физике высоких энергий (XVIII в серии так называемых Рочестерских конференций). Много длинных столов. За одним из них я оказался вблизи от Андрея Дмитриевича. Общий разговор стохастически менял направление. В какой-то момент заговорили о задачах на сообразительность. И тут я предложил Андрею Дмитриевичу задачу о жучке на идеальной резине. Суть ее такова.

Резиновый шнур длиной 1 км одним концом прикреплен к стене, другой у вас в руке. Жучок начинает ползти по шнуру от стены к вам со скоростью 1 см/сек. Когда он проползает первый сантиметр, вы удлиняете резину на 1 км, когда он проползает второй сантиметр, - еще на 1 км, и так каждую секунду. Спрашивается: доползет ли жучок до вас, и если доползет, то за какое время?

И до, и после этого вечера я давал задачу разным людям. Одним для ее решения требовалось около часа, другим сутки, третьи оставались твердо убеждены, что жучок не доползет, а вопрос для времени задается, чтобы навести на ложный след.

Андрей Дмитриевич переспросил условие задачи и попросил кусочек бумаги. Я дал ему свой пригласительный билет на банкет, и он тут же без всяких комментариев написал на обороте решение задачи. На все ушло около минуты."

В статье была фотография того самого пригласительного билета с решением Сахарова.

Ну, а как бы простыми словами то объяснить?

Вот что предлагал тогда блогер mischa_poet :

Давайте сначала докажем, что скорость муравья на разных участках ленты будет разной. Для простоты предположим, что муравей вообще не двигается.

Ситуация 1. Муравей сидит на конце ленты, расстояние за ним 0 м, перед ним 1 метр. Машина проехала 1 метр. Расстояние за муравьем 0 м, перед муравьем 2 метра. Скорость его ноль

Ситуация 2. Муравей сидит на центре ленты, расстояние за ним 0,5 метра, перед ним 0,5 метра. Машина проехала 1 метр. Длина ленты стала 2 метра, но центр остался там же, при этом расстояние за муравьем 1 метр и перед муравьем 1 метр. Хотя изначально за ним было 0,5 метра. Т.е. за секунду он преодолел 0,5 метра.

И т.д., вы видите, что находясь на разных участках ленты скорость муравья будет разной, чем ближе к машине, тем выше его скорость.

Давайте облегчим задачу и перенесём центр системы координат на муравья.

Возьмем опять же центр для простоты. Только теперь муравей движется.

0 секунда. Машина относительно муравья будет на расстоянии 50 см

1 секунда. Теперь расстояние будет (50-1)*коэффициент растяжения. Коэффициент растяжения это цифра которая показывает во сколько раз увеличивается кусок шнура. Шнур был 1 метр, стал через секунду 2 метра, соответственно коэффициент растяжения стал равен двум.
Итак расстояние до машины теперь (50-1)*2 или 98

2 секунда. Теперь расстояние будет [(50-1)*2-1]*коэффициент растяжения. Шнур был 2 метра, стал 3 метра => коэффициент растяжения теперь будет равен 1,5
Итак расстояние до машины теперь [(50-1)*2-1]*1,5 или 145,5

И вот здесь тот момент который вас смущает, расстояние действительно увеличивается 50, потом 98, потом 145,5. Но вы не учитываете ускорение это увеличения, а оно отрицательно. Разница между первым и вторым значением равна 48, тогда как между третьим и вторым она уже 47,5. Дальше будет происходит тоже самое, прибавка к увеличению расстояния между машиной и муравьем будет постоянно уменьшатся, пока не станет меньше 1см, в этот момент, расстояние между машиной и муравьем начнет уменьшаться.

Или вот так еще из примера про Ахиллеса и черепаху:
Пусть она изначально сидит в середине ленты (дадим ей фору) и за каждую секунду преодолевает ровно половину оставшейся части ленты (все измерения делаются в долях от длины ленты, которую поэтому можно условно считать равной 1, несмотря на то, что относительно «неподвижного наблюдателя» лента всё время удлиняется). Через секунду черепаха будет на отметке 3/4 текущей длины ленты (которая будет в тот момент равна 11 метрам), еще через секунду — на 7/8, и т. д. Видно, что черепаха неуклонно приближается к концу ленты.

Ну а теперь итог:

Ну как вам, понятнее стал парадокс или все еще не верится, что муравей догонит машину?

Вдоль бетонированного шоссе тянулась кромка густой высохшей травы, и стебельки ее клонились к земле, — овсюг поджидал первую пробегающую мимо собаку, чтобы зацепиться усиками за ее шерсть, лисохвост — первую лошадь, чтобы стряхнуть свои семена ей на щетку, клевер — первую овцу, чтобы она унесла его щетинки на своей шубе. Спящая жизнь ждала, когда ее развеют, разнесут во все стороны, и каждое семечко было вооружено особым приспособлением для такого путешествия: ножкой, похожей на изогнутый дротик, парашютом, маленьким копьем или крохотной колючкой, — и все это поджидало животных или ветра, отворота на мужских брюках или подола женской юбки — поджидало терпеливо, но настороженно, поджидало спокойно, тихо, но в полной готовности к передвижению.

Лучи солнца падали на траву и грели ее, а в тени между стебельками сновали насекомые — муравьи и подстерегающие их муравьиные львы, суетливые, похожие на маленьких армадилл, сороконожки, кузнечики, которые то и дело взвивались в воздух, сверкая желтоватыми крылышками. А вдоль дороги, поворачивая голову то вправо, то влево, волочила по траве свой выпуклый панцирь черепаха. Ее жесткие лапы с желтоватыми когтями медленно ступали по траве, вернее — продирались сквозь траву, таща на себе тяжелый панцирь. Ячменные семена скользили по нему, ворсинки клевера падали на него и скатывались на землю. Роговой клюв у черепахи был чуть приоткрыт, глаза пронзительным, насмешливым взглядом смотрели на дорогу из-за жестких надбровных дуг. Позади нее оставалась полос; примятой травы, впереди вставала дорожная насыпь, казавшаяся ей высоким холмом. Она остановилась, подняв голову, прищурилась, посмотрела вверх, потом вниз и двинулась дальше. Передние когтистые лапы вытянулись одна за другой, но черепаха тотчас же убрала их. Заработали вадние, панцирь подался вверх, с травы на гравий. Чем круче насыпь, тем резче становились движения черепахи. Задние лапы скользили, обрывались, подталкивая панцирь, длинная шея с чешуйчатой головой была вытянута до предела. Мало-помалу панцирь одолел дорожную насыпь и подобрался вплотную к бетонному борту вышиной в четыре дюйма, который пересекал ему путь. Задние лапы, словно действуя независимо от всего тела, двинули его выше. Шея вытянулась, и черепаха заглянула через борт на широкую гладь шоссе. Потом на борт легли передние лапы, они напряглись, и панцирь медленно подтянулся кверху. Черепаха отдыхала. Рыжий муравей пробрался между панцирем и нижним щитком, щекотнул нежную кожу, и вдруг голова и ноги черепахи спрятались, чешуйчатый хвост ушел вбок, под панцирь. Рыжий муравей лежал, раздавленный, между лапой и брюшком. А колос овсюга, приставший к передней лапе, тоже очутился под панцирем. Долгое время черепаха лежала неподвижно, потом из-под верхнего щитка показалась длинная шея, насмешливые старческие глаза посмотрели по сторонам, а вслед за этим выглянули наружу ноги и хвост. Задние ноги пришли в движение, напружились, как у слона, и вот панцирь подался кверху, так что передние ноги оторвались от борта шоссе. Но задние подталкивали панцирь все выше и выше, центр тяжести переместился. передняя часть туловища скользнула вниз, когти царапнули по бетону, и черепаха стала на шоссе. А колос овсюга, обвившийся вокруг ее передних лап, так и застрял там.

Теперь идти было легче, и за работу принялись все четыре ноги; панцирь двигался вперед, покачиваясь из стороны в сторону. На шоссе показалась машина, за рулем которой сидела пожилая женщина. Она заметила черепаху и круто свернула вправо. Шины взвизгнули, подняв облако пыли. Два колеса на секунду оторвались от земли и тут же стали обратно. Машина пошла дальше, но уже гораздо медленнее. Черепаха, спрятавшая было голову и ноги, теперь заторопилась, потому что раскаленный бетон обжигал се, точно огнем.

Через минуту-другую впереди показался небольшой грузовик, и когда он подъехал ближе, шофер увидел черепаху и свернул прямо на нее. Переднее колесо чиркнуло по краю панциря, подкинуло черепаху вверх, точно костяную фишку, завертело, точно монету, и сбросило с шоссе. А грузовик опять выехал на правую сторону дороги. Черепаха долго лежала на спине, не высовывая наружу ни головы, ни ног. Наконец ноги вытянулись в воздух, ища опоры. Передняя нащупала кусок кварца, и мало-помалу черепаха перевернулась спиной кверху. Колос овсюга отцепился от лап, и из него выпали три остроконечных семечка. А брюшной щит черепахи, спускавшейся теперь вниз по насыпи, прикрыл их слоем земли. Черепаха выбралась на проселочную дорогу и заковыляла по мягкому слою пыли, оставляя за собой волнистый след. Насмешливые старческие глаза смотрели прямо вперед, роговой клюв был полуоткрыт. Лапы с желтоватыми когтями чуть разъезжались в пыли.