Уроки математики: почему нельзя делить на ноль. Основные неопределенности пределов и их раскрытие

Инструкция

Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.

Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).

Видео по теме

Источники:

• вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя в 2019

Инструкция

Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.

У есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой . Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;

Предел постоянной величины равен величине этой постоянной;

Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;

Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y

Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;

Предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.

В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен несложного предела:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите :
lim 3+1/n/1+1/n=3

При решении на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

Видео по теме

Расчет пределов функций - фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.

Очень часто многие задаются вопросом, почему же нельзя использовать деление на ноль? В этой статье мы очень подробно расскажем о том, откуда появилось это правило, а также о том, какие действия можно выполнять с нолем.

Вконтакте

Ноль можно назвать одной из самых интересных цифр. У этой цифры нет значения , она означает пустоту в прямом смысле слова. Однако, если ноль поставить рядом с какой-либо цифрой, то значение этой цифры станет больше в несколько раз.

Число очень загадочно само по себе. Его использовал еще древний народ майя. У майя ноль означал «начало», а отсчет календарных дней также начинался с нуля.

Очень интересным фактом является то, что знак ноля и знак неопределенности у них были похожи. Этим майя хотели показать, что ноль является таким же тождественным знаком, как и неопределенность. В Европе же обозначение нуля появилось сравнительно недавно.

Также многим известен запрет, связанный с нолем. Любой человек скажет, что на ноль нельзя делить . Это говорят учителя в школе, а дети обычно верят им на слово. Обычно детям либо просто не интересно это знать, либо они знают, что будет, если, услышав важный запрет, сразу же спросить «А почему нельзя делить на ноль?». Но когда становишься старше, то просыпается интерес, и хочется побольше узнать о причинах такого запрета. Однако существует разумное доказательство.

Действия с нулем

Для начала необходимо определить, какие действия с нулем можно выполнять. Существует несколько видов действий :

• Сложение;
• Умножение;
• Вычитание;
• Деление (ноля на число);
• Возведение в степень.

Важно! Если при сложении к любому числу прибавить ноль, то это число останется прежним и не поменяет своего числового значения. То же произойдет, если от любого числа отнять ноль.

При умножении и делении все обстоит немного иначе. Если умножить любое число на ноль , то и произведение тоже станет нулевым.

Рассмотрим пример:

Запишем это как сложение:

Всего складываемых нолей пять, вот и получается, что

Попробуем один умножить на ноль . Результат также будет нулевым.

Ноль также можно разделить на любое другое число, не равное ему. В этом случае получится , значение которой также будет нулевым. Это же правило действует и для отрицательных чисел. Если ноль делить на отрицательное число, то получится ноль.

Также можно возвести любое число в нулевую степень . В таком случае получится 1. При этом важно помнить, что выражение «ноль в нулевой степени» абсолютно бессмысленно. Если попытаться возвести ноль в любую степень, то получится ноль. Пример:

Пользуемся правилом умножения, получаем 0.

Так можно ли делить на ноль

Итак, вот мы и подошли к главному вопросу. Можно ли делить на ноль вообще? И почему же нельзя разделить число на ноль при том, что все остальные действия с нулем вполне существуют и применяются? Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к высшей математике.

Начнем вообще с определения понятия, что же такое ноль? Школьные учителя утверждают, что ноль-это ничто. Пустота. То есть когда ты говоришь, что у тебя 0 ручек, это значит, что у тебя совсем нет ручек.

В высшей математике понятие «ноль» более широкое. Оно вовсе не означает пустоту. Здесь ноль называют неопределенностью, так как если провести небольшое исследование, то получается, что при делении ноля на ноль мы можем в результате получить любое другое число, которое не обязательно может быть нолем.

Знаете ли вы, что те простые арифметические действия, которые вы изучали в школе не так равноправны между собой? Самыми базовыми действиями являются сложение и умножение .

Для математиков не существует понятий « » и «вычитание». Допустим: если от пяти отнять три, то останется два. Так выглядит вычитание. Однако, математики запишут это таким образом:

Таким образом, получается, что неизвестной разностью является некое число, которое нужно прибавить к 3, чтобы получить 5. То есть, не нужно ничего вычитать, нужно просто найти подходящее число. Это правило действует для сложения.

Немного иначе дела обстоят с правилами умножения и деления. Известно, что умножение на ноль приводит к нулевому результату. Например, если 3:0=х, тогда, если перевернуть запись, получится 3*х=0. А число, которое умножалось на 0 даст ноль и в произведении. Получается, что числа, которое бы давало в произведении с нолем какую-либо величину, отличную от ноля, не существует. А значит, деление на ноль бессмысленно, то есть оно подходит к нашему правилу.

Но что будет, если попытаться разделить сам ноль на себя же? Возьмем как х некое неопределенное число. Получается уравнение 0*х=0. Его можно решить.

Если мы попробуем взять вместо х ноль, то мы получим 0:0=0. Казалось бы, логично? Но если мы попробуем вместо х взять любое другое число, например, 1, то в конечном итоге получится 0:0=1. Та же ситуация будет, если взять любое другое число и подставить его в уравнение .

В этом случае получится, что мы можем как множитель взять любое другое число. Итогом будет бесконечное множество разных чисел. Порой все же деление на 0 в высшей математике имеет смысл, но тогда обычно появляется некое условие, благодаря которому мы сможем все-таки выбрать одно подходящее число. Это действие называется «раскрытием неопределенности». В обычной же арифметике деление на ноль снова потеряет свой смысл, так как мы не сможем выбрать из множества какое-то одно число.

Важно! На ноль нельзя разделить ноль.

Ноль и бесконечность

Бесконечность очень часто можно встретить в высшей математике. Так как школьникам просто не важно знать о том, что существуют еще математические действия с бесконечностью, то и объяснить детям, почему делить на ноль нельзя, учителя как следует не могут.

Основные математические секреты ученики начинают узнавать лишь на первом курсе института. Высшая математика предоставляет большой комплекс задач, которые не имеют решения. Самыми известными задачами являются задачи с бесконечностью. Их можно решить при помощи математического анализа.

К бесконечности также можно применить элементарные математические действия: сложение, умножение на число. Обычно еще применяют вычитание и деление, но в конечном итоге они все равно сводятся к двум простейшим операциям.

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания .

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1.

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13.

Решение. Получаем

.

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Неопределённость вида

Пример 1.

n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Пример 2. .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Неопределённость вида

Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Пример 6. Вычислить

Решение: воспользуемся теоремами о пределах

Ответ: 11

Пример 7. Вычислить

Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:

; . Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.

Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.

Ответ:

Пример 8. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение: х 3 :

Ответ: 2

Пример 10. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :

=

числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.

Ответ:

Пример 11. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :

Ответ: 0

Производная.

Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.

Производные основных элементарных функций:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Правила дифференцирования:

a)

в)

Пример 1. Найти производную функции

Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:

, где , тогда

При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.

Ответ:

Пример 21. Найти производную функции

Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда

Ответ:

Приложения производной.

1. Скорость и ускорение

Пусть функция s(t) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.

3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.

4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при xx2.
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1 Если f′(x0)=0 или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке x0.

5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).

6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.

7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала }