Разложить на множители выражение как решать. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .

Пример.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Решение.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

К началу страницы

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Пример.

Решение.

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18 : . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Пример.

Разложить на множители выражение .

Решение.

Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2 .

Решение

Выносим x 2 за скобки:
.
2 + x - 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .

.

Ответ

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .

Решение

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3 .

Решение

Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 - 20 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) .

;
.

Ответ

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) :

;

;
.

Ответ

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1 . Делим многочлен на x - (-1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;


;
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504 ;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120 ;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60 ;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24 ;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0 ;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0 ;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0 ;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Ответ

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x 2 = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.

Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.

1. Применение формул сокращенного умножения

Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,

Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом

2. Вынесение общего множителя за скобку

Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,

Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.

Общим множителем может быть и многочлен в скобках:

При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .

В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…

3. Способ группировки

Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.

4. Использование сразу нескольких способов

Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.

Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту:

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

• линейный двучлен (6x+8);
• кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Если D равен нулю:

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

Примеры

Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

Пример 1

Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

Пример 2

Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

Подставляем получившееся значение:

Пример 3

Дано: 5x²+3x+7

Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

Альтернативный способ решения

Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

Дано: x²+3x-10

Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

Разложение сложного трехчлена

Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

Число 3 дают числа:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

Другие случаи

Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Полезное видео: разложение трехчлена на множители

Вывод

Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена , т.е. делает преобразование вида:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробного решения

Выделение квадрата двучлена. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Разложение на множители. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .

Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена , и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен , и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач